中考自主招生考试数学试卷及答案
数学试题
一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
1、下列计算正确的是()
A、(?a)2?(?a)3?2(?a)5B、(?a)2?(?a)3?(?a)6
C、(?a3)2??a6D、(?a)6?(?a)3?(?a)3答案：D
2A、8888B、C、D、67616365
答案：C
3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若x?a,则x?a22
（2）方程2x(x?1)?x?1的解为x?0．
（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．
其中答案完全正确的题目个数为()．
A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A
4、如图，已知直线l的解析式是y?4x?4，并且与x轴、y3
轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点（0，
1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与
直线l相切时,则该圆运动的时间为()
A.3秒或6秒B.6秒C.3秒D.6秒或16秒
答案:D
5、已知11?x?1，则?x的值为．xx
A．?B．5C．?D．5或1答案：B
6、如图，?ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF//AB，若⊙O的半径为43，则DE的长为()3
?13?1C.?1D.22A.?1B.
答案：C
7、已知函数y?x2?2x?c（c为常数）的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)。若x1?1?x2且x1?x2?2，则y1与y2的大小关系是()
A.y1?y2B.y1?y2C.y1?y2D.y1与y2的大小不确定
答案:B
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
8、计算：2?2
2?2
2?12?1＝答案：2?
?5?2x??19、已知关于x的不等式组?无解，则a的取值范围是____。x?a?0?
答案：a?3
10、一个密码箱的密码，每个数位上的数字都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于
答案：4
11、定义：
答案：4
12、在平面直角坐标系中,直线y??1，则密码的位数至少需要___________位.2012abx?1?ad?bc。现有cd21x?0，则x?__________4x?8与x轴、y轴分别交于A、B两点，把直线3
4y??x?8沿过点A的直线翻折，使B与x轴上的点C重合，折痕与y轴交于点D，则3
直线CD的解析式为_______________________
答案：y?33x?3，y?x?1244
313、已知方程x?6x?10?0有一根x0满足k?x0?k?1,k为正整数,则k?_______.
答案：3
14、如图AB?BC?CA?AD?3，AH?CD于
H，CP?BC交AH于点P，AP?2，则
BD?____________________答案：322
三、解答题（本大题共8题，共80分）
15、（本题满分10分）
0(1)在Rt?ABC中,?C?90,?A的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程。
（2）已知锐角?满足：sin??1?x，cos??1?2x，求tan?的值。
解:（1）sinA?cosA?1????????????????5分22
2222（2）由sin??cos??1，得(1?x)?(1?2x)?1所以可解得x?1或x?1（舍），5
易得tan??3??????????????????????5分4
16、（本题满分10分）
(1)图(1)是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图(2)、(3)、(4)、(5)的木块。
我们知道，图(1)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)
(2)观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：_______________.
(2)顶点数+面数=棱数+2．17、（本题满分10分）
阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销量是原销量的y倍，且y与x之间满足：
?3
(0?x?1)?10x?1
?77?1
y???x2?x?(1?x?3)
1010?10
?19（x?3)??10
如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。
（1）试求出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）若
1
?x?5，要使利润S随广告费x的增大而增大，求x的取值范围。2
5x?20(0?x?1)??2
解:(1)S???2x?13x?14(1?x?3)
?38?x(x?3)?
(2)在S?5x?20(0?x?1)中，S随x的增大而增大。
?S??2x2?13x?14??2(x?
132281
)?(1?x?3)48
?当1?x?3时，S随x的增大而增大。
11
?若?x?5，要使利润S随广告费x的增大而增大，则x的取值范围为?x?3。
22
18、（本题满分10分）
已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB?a?1,以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不
同于点A的一点，且DB?AB?a，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长。解：如图，连接OE，OA，OB。设∠CDB=x°,则∵CD=AB=DB，∴∠BCD=x°。∵∠ACB=60°，∴∠ECA=120°-x°。
∵∠ABO=∠ABD/2=（∠ABC+∠CBD）/2=（60°+180°-2x）/2=120°-x°，∴△ACE≌△ABO，AE=OA=1.
19、已知n为正整数，二次方程x2?(2n?1)x?n2?0的两根为?n,?n，求下式的值：
111
????
(?3?1)(?3?1)(?4?1)(?4?1)(?20?1)(?20?1)
2
解：由韦达定理，有?n??n??(2n?1)，?n?n?n。于是，对正整数n?3，有
111
??2
(?n?1)(?n?1)?n?n??n??n?1n?(2n?1)?1
1111??(?)n(n?2)2n?2n
11111111(1?)?(?)???(?)23224218201111531
?)??(1??
221920760
原式=
20、（本题满分8分）
解方程：2[x]?x?2{x}(x?0)
[
{x}表示x的小数部分,如[2.13]?2,{2.13}?0.13）[x]表示实数x的整数部分，（注：
解：原方程可变为2[x]?[x]?{x}?2{x}即3{x}?[x]
因0?{x}?1，故0?[x]?3，于是[x]只可能为0,1,2，且x?[x]?{x}?当[x]?0时，x?0；当[x]?1时，x?
4
[x]3
48；当[x]?2时，x?。33
21、（本题满分10分）
设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“?”，
a?b
1?ab
(1)证明：结合律(a?b)?c?a?(b?c)成立.
(2)证明：如果a与b在S中，那么a?b也在S中.
2
（说明：可能用到的知识:|a|?1即a?1）
a?b
?c
a?b（1）（a*b)*c=*c==a?b?c?abc因为此式关于a,b,c对称，所以即
a?b1?ab1?bc?ca?ab1??c1?ab
使得a?b?
得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算（2）当-1<a<1,-1<b<1时，有-1<即可证得
22、（本题满分12分）
如图，对称轴为x?3的抛物线y?ax2?2x与x轴相交于点B、O.
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛
物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.
直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
23.解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入y?ax?2x得：36a+12=0,
2
a?ba?b2
)<1成立，从而用比较法<1成立，也即证(
1?ab1?ab
若存在,
∴a=?
1.3
∴抛物线解析式为y??
12
x?2x.??????????2分3
当x=3时，y???3?2?3?3,
∴顶点A坐标为（3，3）.??????????3分（说明：可用对称轴为x??
13
2
b
,求a值,用顶点式求顶点A坐标.）2a
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
?6k?b?0?k??1∴?解得?,∴y??x?6.
b?63k?b?3??
∵直线l∥AB且过点O,∴直线l解析式为y??x.∵点p是l上一动点且横坐标为t,
∴点p坐标为（t,?t）.??????????4分当p在第四象限时（t＞0），
S?S?AOB?S?OBP
=12×6×3+=9+3t.∵0＜S≤18,∴0＜9+3t≤18,∴-3＜t≤3.又t＞0,∴0＜t≤3.5分当p在第二象限时（t＜0）,
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N.则
1
×6×?t2
S?S梯形ANMP+S?ANB-S?PMO
=
12?3+(-t)??(3?t)?12?3?3?1
2(?t)(?t)?1(t?3)2?9?1t2222=-3t+9.∵0＜S≤18,∴0＜-3t+9≤18,∴-3≤t＜3.又t＜0,
∴-3≤t＜0.6分来源@#:^中教网
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3.
(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分（说明：点Q坐标答对一个给1分）
同于点A的一点，且DB?AB?a，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长。解：如图，连接OE，OA，OB。设∠CDB=x°,则∵CD=AB=DB，∴∠BCD=x°。∵∠ACB=60°，∴∠ECA=120°-x°。
∵∠ABO=∠ABD/2=（∠ABC+∠CBD）/2=（60°+180°-2x）/2=120°-x°，∴△ACE≌△ABO，AE=OA=1.
19、已知n为正整数，二次方程x2?(2n?1)x?n2?0的两根为?n,?n，求下式的值：
111????(?3?1)(?3?1)(?4?1)(?4?1)(?20?1)(?20?1)
2解：由韦达定理，有?n??n??(2n?1)，?n?n?n。于是，对正整数n?3，有
111??2(?n?1)(?n?1)?n?n??n??n?1n?(2n?1)?1
1111??(?)n(n?2)2n?2n
11111111(1?)?(?)???(?)2322421820
1111531?)??(1??221920760原式=
20、（本题满分8分）
解方程：2[x]?x?2{x}(x?0)[
{x}表示x的小数部分,如[2.13]?2,{2.13}?0.13）[x]表示实数x的整数部分，（注：
解：原方程可变为2[x]?[x]?{x}?2{x}
即3{x}?[x]
因0?{x}?1，故0?[x]?3，于是[x]只可能为0,1,2，且x?[x]?{x}?
当[x]?0时，x?0；当[x]?1时，x?4[x]348；当[x]?2时，x?。33
21、（本题满分10分）
设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“?”，
a?b1?ab
(1)证明：结合律(a?b)?c?a?(b?c)成立.
(2)证明：如果a与b在S中，那么a?b也在S中.
2（说明：可能用到的知识:|a|?1即a?1）
a?b?ca?b（1）（a*b)*c=*c==a?b?c?abc因为此式关于a,b,c对称，所以即a?b1?ab1?bc?ca?ab1??c1?ab使得a?b?
得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算
（2）当-1<a<1,-1<b<1时，有-1<
即可证得
22、（本题满分12分）
如图，对称轴为x?3的抛物线y?ax2?2x与x轴相交于点B、O.
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的
坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它
经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设
以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P
的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛
物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.
直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
23.解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入y?ax?2x得：
36a+12=0,2a?ba?b2)<1成立，从而用比较法<1成立，也即证(1?ab1?ab若存在,
∴a=?1.3∴抛物线解析式为y??12x?2x.??????????2分3
当x=3时，y???3?2?3?3,
∴顶点A坐标为（3，3）.??????????3分（说明：可用对称轴为x??132b,求a值,用顶点式求顶点A坐标.）2a
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
?6k?b?0?k??1∴?解得?,∴y??x?6.b?63k?b?3??
∵直线l∥AB且过点O,
∴直线l解析式为y??x.
∵点p是l上一动点且横坐标为t,
∴点p坐标为（t,?t）.??????????4分
当p在第四象限时（t＞0），
S?S?AOB?S?OBP=12×6×3+
=9+3t.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3t≤18,
∴-3＜t≤3.
又t＞0,
∴0＜t≤3.5分
当p在第二象限时（t＜0）,
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N.则1×6×?t2
S?S梯形ANMP+S?ANB-S?PMO
=1
2?3+(-t)??(3?t)?1
2?3?3?1
2(?t)(?t)
?1(t?3)2?9?1t2
222
=-3t+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3t+9≤18,
∴-3≤t＜3.
又t＜0,
∴-3≤t＜0.6分来源@#:^中教网
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3.
(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分（说明：点Q坐标答对一个给1分）
a?b1?ab
(1)证明：结合律(a?b)?c?a?(b?c)成立.
(2)证明：如果a与b在S中，那么a?b也在S中.
2（说明：可能用到的知识:|a|?1即a?1）
a?b?ca?b（1）（a*b)*c=*c==a?b?c?abc因为此式关于a,b,c对称，所以即a?b1?ab1?bc?ca?ab1??c1?ab使得a?b?
得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算
（2）当-1<a<1,-1<b<1时，有-1<
即可证得
22、（本题满分12分）
如图，对称轴为x?3的抛物线y?ax2?2x与x轴相交于点B、O.
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的
坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它
经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设
以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P
的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛
物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.
直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
23.解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入y?ax?2x得：
36a+12=0,2a?ba?b2)<1成立，从而用比较法<1成立，也即证(1?ab1?ab若存在,
∴a=?1.3∴抛物线解析式为y??12x?2x.??????????2分3
当x=3时，y???3?2?3?3,
∴顶点A坐标为（3，3）.??????????3分（说明：可用对称轴为x??132b,求a值,用顶点式求顶点A坐标.）2a
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
?6k?b?0?k??1∴?解得?,∴y??x?6.b?63k?b?3??
∵直线l∥AB且过点O,
∴直线l解析式为y??x.
∵点p是l上一动点且横坐标为t,
∴点p坐标为（t,?t）.??????????4分
当p在第四象限时（t＞0），
S?S?AOB?S?OBP=12×6×3+
=9+3t.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3t≤18,
∴-3＜t≤3.
又t＞0,
∴0＜t≤3.5分
当p在第二象限时（t＜0）,
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N.则1×6×?t2
S?S梯形ANMP+S?ANB-S?PMO
=1
2?3+(-t)??(3?t)?1
2?3?3?1
2(?t)(?t)
?1(t?3)2?9?1t2
222
=-3t+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3t+9≤18,
∴-3≤t＜3.
又t＜0,
∴-3≤t＜0.6分来源@#:^中教网
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3.
(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分（说明：点Q坐标答对一个给1分）
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