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北京大学自主招生数学题

发布于:自主招生网 发布人:百学 人气:0 发布时间:2019-12-05
摘要:家长是孩子最好的老师, 这是奥数君第1016天给出奥数题讲解。 今天的题目是数论问题, 来自2016年北京大学自主招生考试, 详细讲解后初中二年级学生可以听懂。 除因式分解的内容外, 小学5年级学生也可以听懂。 题目(单项选择题,4星难度): 已知正整数a,b,c

  家长是孩子最好的老师,

  这是奥数君第1016天给出奥数题讲解。

  今天的题目是数论问题,

  来自2016年北京大学自主招生考试

  详细讲解后初中二年级学生可以听懂。

  除因式分解的内容外,

  小学5年级学生也可以听懂。

  题目(单项选择题,4星难度):

  已知正整数a,b,c,d满足ab=cd,则a+b+c+d有可能等于( )?

  A.101 B.301 C.401 D.前三个都不对

  辅导方法

  将题目写给小朋友,

  让他自行思考解答,

  若20分钟仍然没有思路,

  再由家长进行提示性讲解。

  讲解思路:

  这道题属于数论问题,

  如果是不定项选择题,

  题目难度会很大;

  现在是单项选择题,

  就容易处理多了。

  先讲一个做题的小技巧,

  对于单项选择题如果没有思路,

  可以从答案着手分析。

  原题选项中的101,301,401这3个数,

  101和401都是质数,

  只有301不是质数,

  如果不会做可直接猜测答案为301,

  严格求解考虑从因式分解的角度着手。

  总的解题思路是:

  先考虑是否存在4个正整数m,n,p和q,

  使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b;

  再考虑对a+b+c+d分解因式,

  从而确定原题目的答案。

  步骤1:

  先思考第一个问题,

  是否存在4个正整数m,n,p和q,

  使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b?

  由于ab=cd,

  故c的质因数一定使ab的质因数,

  且不是a的因数就是b的因数。

  对c分解质因数,

  把其中属于a的所有质因数相乘得到m,

  把所有属于b的所有质因数相乘得到n。

  注意相乘过程遵循以下三条:

  每个质因数只参加一次乘法,

  如果某个质因数既属于a也属于b,

  则只把该质因数在a的质因数中相乘;

  若没有属于a的质因数则令m=1;

  同样若没有属于b的质因数则令n=1。

  此时有m整除a,且n整除b。

  令p=a/m, q=b/n,

  则pq=ab/(mn)=ab/c=d,

  显然m,n,p,q就是满足条件的4个数。

  步骤2:

  再思考第二个问题,

  考虑原题目的答案。

  在步骤1的基础上,

  把mn=c,pq=d,mp=a,nq=b代入可得:

  a+b+c+d=mp+nq+mn+pq

  =(m+q)(n+p),

  由于m,n,p,q都是正整数,

  故m+q和n+p都是不小于2的正整数,

  因此(m+q)(n+p)是合数。

  在101,301,401这3个数,

  只有301=7*43是合数,

  所以原题目的答案是B。

  思考题(3星难度):

  能否找到两个完全平方数a和b,使a+b=103?

  获得思考题答案方法:

  关注微信公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu),

  微信回复“20191104”可获得思考题答案。

  注:过4个月之后,关键词回复可能失效。

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