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来自北京大学自主招生,一道考察思维的好题

发布于:自主招生网 发布人:百学 人气:0 发布时间:2019-12-22
摘要:家长是孩子最好的老师, 这是奥数君第1062天给出奥数题讲解。 今天的题目是数论问题, 来自北京大学2009年自主招生考试, 详细讲解后初中1年级学生能听懂。 题目(4星难度): 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格,6道及以上 为优秀

  家长是孩子最好的老师,

  这是奥数君第1062天给出奥数题讲解。

  今天的题目是数论问题,

  来自北京大学2009年自主招生考试

  详细讲解后初中1年级学生能听懂。

  题目(4星难度):

  某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格,6道及以上

  为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多?

  辅导方法

  将题目写给小朋友,

  让他自行思考解答,

  若20分钟仍然没有思路,

  再由家长进行提示性讲解。

  讲解思路:

  这道题属于综合应用题,

  由于平均值1000/333更靠近3道,

  故从直觉上就感觉优秀的人不多。

  解题的方法有很多种,

  既可以采用极端构造问题的方法,

  构造极端条件来说明结论;

  也可以采取不等式的方法严格说明。

  采用第一种方法时很难说清楚,

  容易出现表述不清的情况,

  从而让阅卷人误解产生丢分。

  今天我们采用不等式的方法解题。

  假设不及格的人数为x,

  优秀的人数为y,

  中间的人数为z。

  总的解题思路是:

  先考虑x与y之间的不等式关系,

  再通过讨论得到x与y之间的大小。

  步骤1:

  先思考第一个问题,

  考虑x与y之间的不等式关系。

  先考虑总得分,

  由于优秀的人每人最少答对6道,

  故优秀的人共答对题目不少于6y道,

  类似有中间的人共答对题目不少于4z道,

  而不及格的人共答对题目不少于0道,

  故6y+4z<=1000,

  化简即3y+2z<= 500。

  接着由总人数可得x+y+z=333,

  即z=333-x-y,代入上面不等式:

  得到3y+666-2x-2y<= 500,

  化简得:y+166<= 2x。

  步骤2:

  再思考第二个问题,

  考虑原题目得答案。

  在步骤1的基础上继续思考,

  对x与166的大小关系分类讨论:

  第一种情况,当x大于166时,

  x最小是167,由于x+y不大于333,

  故y一定不大于166,

  这种情况显然有x>y;

  第二种情况,当x<=166时,

  步骤1的不等式即y-x <= x-166,

  此时有x-166 <=0,

  故y-x <= x-166<= 0,即x >= y。

  因此对上面两种情况都有x >= y。

  下面我们将说明x可能等于y:

  如果有166个人每人做对6道题,

  且有166个人每人做对0道题,

  且有1个人做对4道题,

  则此时x=y。

  所以不及格的人数不少于优秀的人数。

  思考题(2星难度):

  某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格,4道或5道为及格,6道及以上为优秀。问及格的人数和优秀的人数相比哪个多?

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